Introducción
Hace un par de años, quizá más, tuve que estimar el máximo par al que estaría sometido un pequeño satélite (Cubesat). Terminó siendo un problema de ingeniería muy interesante y en el camino, me topé con un problema puramente matemático que quiero compartir aquí. En primer lugar, repasemos algunos conceptos.
Como puede que sepas, si no estás por aquí solamente por los dibujitos animados, los satélites que orbitan la Tierra son perturbados en su trayectoria de caída libre al interactuar con cosas como las capas altas de la atmósfera, la presión de radiación solar, el campo magnético terrestre...
Si nos fijamos en perturbaciones "de resistencia" (resistencia con la atmósfera o presión de radiación solar), podríamos terminar preguntándonos, qué orientación/actitud maximiza el área frontal al "viento" del cuerpo que orbita. En otras palabras, ¿cuál será el área máxima del agujero en la pared que podría dejar un dibujo animado como el pobre Coyote? (Esto es, máxima área transversal)
A lo mejor quieres repasar bibliografía ahora o simplemente disfrutar de la siguiente fotografía.
El modelo
Los Cubesats son geométricamente diversos. Pueden tener antenas o paneles solares desplegables, por ejemplo. Pero en una etapa de estimación, podemos asumir que son, bueno, cuboides (no hay que olvidar la limitación de este modelo con largos artilugios desplegables en la estimación del par de perturbación)
Así que, tenemos un cuboide y queremos saber qué orientación nos dará la máxima área transversal (que estará relacionada, de alguna manera, con la máxima fuerza y par que estimaremos en una etapa posterior)
La primera observación aquí es que, como mínimo, sólo una cara del cuboide se enfrenta la perturbación (importante si estamos interesados en encontrar el área transversal mínima) y que, como mucho, tres caras se enfrentan directamente al "viento" (atmosférico o solar). Asignemos a estas tres caras vectores con la magnitud de su área ( son las dimensiones de cada arista),
, ,
Y también definamos el vector unitario en la dirección del "viento" (o la pared) de la perturbación.
El área transversal es, entonces, .
Resumiendo, maximicemos given
¿Cómo lo hacemos? ¡Multiplicadores de Lagrange al rescate!
Eso es!
The solution
Después de alguna manipulación obtenemos la expresión para el versor que maximiza el área transversal del cuboide.
Es interesante obtener este vector y el área transversal para dos casos habituales en cubesats, asumiendo que un cubesat unitario es un cubo de arista
One-unit cubesat
y el área resultante es .
Two-unit cubesat
Pongamos y . El área resultante es .
Comparación numérica
Sí, por supuesto, puedes poner tu ordenador a trabajar con métodos numéricos para validar las anteriores soluciones analíticas.
En el caso general, recuerdo que hice una aproximación original, proyectando todos los vértices de la geometría sobre un plano y
hallando la envolvente convexa del polígono resultante al parametrizar la orientación.
Pero hay otra aproximación interesante: ¿Qué tal si hacemos fuerza bruta con un trazador de rayos? Sí, hice mi propio trazador de
rayos para esto (y por si te lo preguntas, sí, lo hice en Fortran: es asombrosamente rápido y he aprendido un par de trucos en el
camino).
Palabras finales
Estoy, de alguna manera, enamorado de este problema y también estoy seguro de que hay aproximaciones a su solución muy interesantes para formas generales o que tengan en cuenta las sombras del propio cuerpo sobre sí mismo. Quizá sepas algunas nuevas; me encantaría saberlas. Para terminar, quizás has acabado picando en el capcioso título de la entrada, quizás estás por aquí porque estás pensando en contratarme o simplemente por curiosidad. El mensaje que quiero mandar es este: cualquier cosa que hagas (en ingeniería), hazla bien. Y las mates te ayudarán con ello (¿no es evidente?)
Artículo inicialmente publicado aquí.